Bölme ve Bölünebilme

AYT Matematik: Bölme ve Bölünebilme Konu Özeti

Bölme işlemi, bir sayının başka bir sayıya bölünmesi anlamına gelir ve bu süreçte bölünen sayıya "bölünen", bölen sayıya "bölen", işlem sonucuna "bölüm" ve kalan sayıya "kalan" denir. Bölünebilme ise, bir sayının başka bir sayıya kalansız bölünebilmesi anlamına gelir. Bölme işlemi ve bölünebilme kuralları, sayılar arasındaki ilişkileri ve işlemleri anlamak açısından oldukça önemlidir.

1. Bölme İşlemi

Bölme işlemi, bir sayının (A) başka bir sayıya (B) bölünerek bölüm ve kalanın bulunması işlemidir. Bölme işlemi şu şekilde ifade edilir:

A = B × Q + K

• A: Bölünen sayı
• B: Bölen sayı
• Q: Bölüm
• K: Kalan (Kalan daima 0 ≤ K < B koşulunu sağlar.)

Örneğin, 23 sayısının 5 ile bölünmesi işlemi şu şekildedir:

23 = 5 × 4 + 3

Burada, bölüm 4, kalan ise 3’tür.

2. Bölünebilme Kuralları

Bölünebilme kuralları, bir sayının başka bir sayıya kalansız bölünüp bölünmediğini belirlemenin hızlı yoludur. Bu kurallar sayesinde işlemler daha kolay yapılabilir.

2.1. 2 ile Bölünebilme

• Son basamağı çift (0, 2, 4, 6, 8) olan sayılar 2 ile tam bölünebilir.
• Örnek: 128, 54, 76 sayıları 2 ile tam bölünebilir.

2.2. 3 ile Bölünebilme

• Bir sayının rakamları toplamı 3’ün katı ise, o sayı 3 ile tam bölünebilir.
• Örnek: 342 (3 + 4 + 2 = 9), 129 (1 + 2 + 9 = 12) sayıları 3 ile tam bölünebilir.

2.3. 4 ile Bölünebilme

• Son iki basamağı 00 veya 4’ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünebilir.
• Örnek: 1328 (28 → 4’e bölünür), 3600 (00 → 4’e bölünür).

2.4. 5 ile Bölünebilme

• Son rakamı 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünebilir.
• Örnek: 85, 430, 250 sayıları 5 ile tam bölünebilir.

2.5. 6 ile Bölünebilme

• Bir sayı hem 2 hem de 3 ile tam bölünebiliyorsa, 6 ile de tam bölünebilir.
• Örnek: 84 (2’ye ve 3’e tam bölünür), 312 (2’ye ve 3’e tam bölünür).

2.6. 8 ile Bölünebilme

• Son üç basamağı 000 veya 8’in katı olan sayılar 8 ile tam bölünebilir.
• Örnek: 824 (son üç basamak 824 → 8’e bölünür), 16000 (000 → 8’e bölünür).

2.7. 9 ile Bölünebilme

• Bir sayının rakamları toplamı 9’un katı ise, o sayı 9 ile tam bölünebilir.
• Örnek: 351 (3 + 5 + 1 = 9), 126 (1 + 2 + 6 = 9) sayıları 9 ile tam bölünebilir.

2.8. 10 ile Bölünebilme

• Son rakamı 0 olan sayılar 10 ile tam bölünebilir.
• Örnek: 240, 350, 5600 sayıları 10 ile tam bölünebilir.

2.9. 11 ile Bölünebilme

• Bir sayının, rakamlarının birer atlayarak farklarının toplamı 11’in katı ise, o sayı 11 ile tam bölünebilir.
• Örnek: 462 (4 - 6 + 2 = 0), 1364 (1 - 3 + 6 - 4 = 0) sayıları 11 ile tam bölünebilir.

3. Tam Bölünebilme Şartları

Bölme işlemi sonucunda kalan sıfır ise, bu işlem tam bölünme olarak adlandırılır. Bu durumda A sayısı B sayısına tam bölünmüş olur. Örneğin:

24 ÷ 6 = 4 (Tam bölünme, kalan 0’dır)

4. Kalanlı Bölme İşlemi

Eğer bölme işleminde kalan sıfır değilse, bu durumda bölme işlemi kalanlıdır. Kalanlı bölme işlemi şu şekilde ifade edilir:

A = B × Q + K

Burada K (kalan) sıfırdan farklıdır ve 0 ≤ K < B koşulunu sağlar.

Örnek:

23 sayısının 5 ile bölünmesi işleminde:

23 ÷ 5 = 4 (Kalan = 3)

Burada, bölüm 4, kalan 3’tür.

5. Modüler Aritmetik (Mod Almak)

Modüler aritmetik, bir sayının başka bir sayıya bölündüğünde kalanı bulma işlemidir. "mod" kelimesi, "modül" anlamına gelir ve kalanı gösterir. Örneğin:

• 23 mod 5 = 3 (23 sayısı 5 ile bölündüğünde kalan 3’tür.)
• 40 mod 6 = 4 (40 sayısı 6 ile bölündüğünde kalan 4’tür.)

Hap Bilgiler

• Bölme işlemi: A = B × Q + K, burada kalan (K), 0 ≤ K < B koşulunu sağlar.
• 2 ile bölünebilme: Son basamağı çift olan sayılar.
• 3 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı 3’ün katı olan sayılar.
• 5 ile bölünebilme: Son basamağı 0 veya 5 olan sayılar.
• Modüler aritmetik, bir sayının başka bir sayıya bölünmesinden kalan kısmı bulmak için kullanılır.

Soru Çözümü İçin İpuçları

• Bölünebilme Soruları: Sayının rakamlarına ve son basamaklarına dikkat ederek işlemi hızlandırabilirsiniz. Rakamlar toplamı, son basamak gibi özellikleri kontrol edin.
• Kalanlı Bölme Soruları: Bölme işleminden kalan kısmı doğru bulmak için işlemi dikkatli yapın. Kalanın her zaman 0 ≤ K < B koşulunu sağladığını unutmayın.
• Modüler Aritmetik Soruları: Bir sayıyı mod almak için sayıyı bölen sayıya bölün ve kalan kısmı bulun. Örneğin, 38 mod 7 = 3’tür (38 ÷ 7 kalan 3).

Örnek Sorular ve Çözümleri

Örnek Soru 1:

Bir sayı 3 ile tam bölünebiliyorsa, bu sayının rakamları toplamı aşağıdakilerden hangisinin katıdır?

1. 2
2. 3
3. 5
4. 7
5. 9

Çözüm: 3 ile tam bölünebilme kuralına göre, sayının rakamları toplamı 3’ün katı olmalıdır. Doğru cevap: B şıkkı.

Örnek Soru 2:

182 sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Çözüm: 182’nin 11 ile bölümünden kalan: 182 ÷ 11 = 16 kalan 6. Doğru cevap: C şıkkı.