Rasyonel Sayılar

AYT Matematik: Rasyonel Sayılar Konu Özeti

Rasyonel sayılar, bir tam sayının başka bir tam sayıya bölümü şeklinde yazılabilen sayılardır. Yani, **a** ve **b** tam sayıları olmak üzere, **b ≠ 0** koşuluyla **a/b** biçiminde yazılabilen her sayı bir rasyonel sayıdır. Rasyonel sayılar kümesi **ℚ** ile gösterilir.

1. Rasyonel Sayıların Tanımı ve Gösterimi

Rasyonel sayılar, **a** ve **b** tam sayıları için **a/b** şeklinde ifade edilen kesirli sayılardır. Burada:

• **a**: Pay (bölünen sayı)
• **b**: Payda (bölen sayı, b ≠ 0 olmalıdır)

Örnekler:

• 1/2, -3/4, 7/1, 0/5 gibi sayılar rasyonel sayıdır.
• 0, tüm tam sayılar gibi rasyonel bir sayıdır çünkü 0/1 gibi yazılabilir.

2. Rasyonel Sayılar Kümesi (ℚ)

Rasyonel sayılar kümesi, **ℚ** ile gösterilir ve payda 0 olmadığı sürece her kesir bu kümenin bir elemanıdır. Rasyonel sayılar aynı zamanda ondalık gösterime çevrilebilir. Rasyonel sayılar iki şekilde ondalık gösterime sahip olabilir:

• Sınırlı (Sonlu) Ondalık Gösterim: Rasyonel sayı ondalık kesir olarak ifade edildiğinde virgülden sonra sınırlı sayıda basamak vardır. Örneğin, 1/2 = 0.5
• Devirli (Periyodik) Ondalık Gösterim: Virgülden sonra bir basamak dizisi sürekli tekrar eder. Örneğin, 1/3 = 0.333...

3. Rasyonel Sayılarda Dört İşlem

3.1. Toplama ve Çıkarma

Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapılırken paydalar eşitlenir ve paylar toplanır ya da çıkarılır:

• Örnek: 1/3 + 2/5 = (5 + 6) / 15 = 11 / 15
• Örnek: 7/8 - 3/4 = (7/8 - 6/8) = 1/8

3.2. Çarpma

Rasyonel sayılarda çarpma işlemi yapılırken paylar kendi aralarında, paydalar ise kendi aralarında çarpılır:

• Örnek: (2/3) × (4/5) = 8 / 15

3.3. Bölme

Bölme işleminde ise, birinci kesir ikinci kesirin tersi ile çarpılır:

• Örnek: (2/3) ÷ (4/5) = (2/3) × (5/4) = 10 / 12 = 5 / 6

4. Devirli Ondalık Gösterim ve Rasyonel Sayıya Çevirme

Devirli ondalık gösterimleri rasyonel sayıya çevirme işlemi, devirli kısmı tekrar eden bir kesirli sayıyı bulmayı içerir. Bu tür bir sayıyı rasyonel sayıya çevirmek için aşağıdaki adımlar izlenir:

• Sayıyı **x** ile eşitleyin (örneğin, x = 0.666...)
• Ondalık kısımda tekrar eden basamaklar kadar sayıyı 10, 100, vb. ile çarpın (10x = 6.666...)
• Denklemleri çıkararak tekrar eden kısmı ortadan kaldırın (10x - x = 6 → 9x = 6 → x = 6/9 = 2/3)

Örnek:

0.272727... sayısını rasyonel sayıya çevirelim:

• **x = 0.272727...**
• **100x = 27.272727...**
• **100x - x = 27 → 99x = 27 → x = 27/99 = 3/11**

5. Rasyonel Sayıların Sıralanması

Rasyonel sayıları karşılaştırırken paydalar eşitlenir ve paylar karşılaştırılır. Daha büyük paya sahip olan rasyonel sayı, daha büyüktür. Örneğin:

• 3/7 ile 5/8 sayılarını karşılaştıralım: 3/7 = 24/56, 5/8 = 35/56. Dolayısıyla 5/8 > 3/7.

Hap Bilgiler

• Rasyonel sayılar **a/b** biçiminde yazılabilen sayılardır ve **b ≠ 0** koşulunu sağlar.
• Rasyonel sayıların ondalık gösterimi ya sonlu (sınırlı) ya da devirli (periyodik) olur.
• Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma için paydalar eşitlenir, çarpma ve bölme işlemi doğrudan yapılır.
• Devirli ondalık sayılar rasyonel sayılara çevrilebilir.

Soru Çözümü İçin İpuçları

• Toplama ve Çıkarma İşlemleri: Paydaları eşitlemeden işlemi yapmaya çalışmayın, işlem sırasında payları doğru toplayıp çıkardığınızdan emin olun.
• Çarpma ve Bölme İşlemleri: Çarpma işleminde payları ve paydaları ayrı ayrı çarpın, bölme işleminde ise ikinci kesirin tersini alıp çarpma işlemi yapın.
• Devirli Ondalık Gösterimler: Sayıyı rasyonel hale getirmek için devirli kısım kadar çarpma ve çıkarma işlemi uygulayın.
• Sıralama Soruları: Paydaları eşitleyerek rasyonel sayıları karşılaştırabilirsiniz.

Örnek Sorular ve Çözümleri

Örnek Soru 1:

(5/6) + (2/9) işleminin sonucu nedir?

1. 13/18
2. 23/18
3. 37/36
4. 11/18
5. 25/36

Çözüm:

• Paydaları eşitleyelim: 5/6 = 15/18, 2/9 = 4/18
• (15/18) + (4/18) = 19/18

Doğru cevap: Yukarıdaki seçeneklerde yok. Doğru sonuç **19/18** olmalıydı.

Örnek Soru 2:

0.555... sayısını rasyonel sayıya çevirin.

1. 5/9
2. 1/2
3. 2/3
4. 3/5
5. 4/9

Çözüm:

• x = 0.555...
• 10x = 5.555...
• 10x - x = 5 → 9x = 5 → x = 5/9

Doğru cevap: A şıkkı.