Basit Eşitsizlikler

AYT Matematik: Basit Eşitsizlikler Konu Özeti

Basit eşitsizlikler, iki ifadeyi karşılaştırarak birinin diğerinden büyük, küçük, büyük eşit veya küçük eşit olup olmadığını belirten matematiksel ifadelerle ilgilidir. Eşitsizlikler, çözüm kümeleriyle birlikte grafik üzerinde gösterilebilir ve çözümü yapılabilir.

1. Eşitsizlik Sembolleri

Eşitsizlikleri ifade ederken aşağıdaki semboller kullanılır:

• > : Büyüktür
• < : Küçüktür
• ≥ : Büyük eşittir
• ≤ : Küçük eşittir

Bu semboller, iki sayıyı veya ifadeyi karşılaştırırken kullanılır. Örneğin:

• 5 > 3 (5, 3'ten büyüktür)
• -2 < 4 (-2, 4'ten küçüktür)
• 7 ≥ 7 (7, 7'ye eşittir veya büyüktür)
• 3 ≤ 5 (3, 5'e eşit veya küçüktür)

2. Eşitsizliklerin Temel Kuralları

Eşitsizlik çözümlerinde aşağıdaki kurallar kullanılır:

• Eşitsizliklerde her iki tarafa aynı sayı eklenip çıkarılabilir.
• Eşitsizliklerde her iki tarafı aynı pozitif sayı ile çarpabilir veya bölebiliriz, işaret yönü değişmez.
• Her iki tarafı negatif bir sayı ile çarptığımızda veya böldüğümüzde, eşitsizlik yönü değişir.

Örnekler:

• Örnek 1: x + 3 < 7 → x < 7 - 3 → x < 4
• Örnek 2: 5 - 2x > 3 → -2x > -2 → x < 1 (Negatif sayıyla bölme yaptığımız için eşitsizlik yön değiştirdi.)

3. Eşitsizliklerin Çözümü

Basit eşitsizliklerin çözümünde, eşitsizliği sağlamak için değişkenin hangi değerleri alabileceğini buluruz. Çözüm, bir aralık olarak ifade edilir. Aralıkların gösterimi şu şekildedir:

• Açık Aralık: a < x < b aralığı **(a, b)** şeklinde gösterilir ve a ile b değerleri dahil edilmez.
• Kapalı Aralık: a ≤ x ≤ b aralığı **[a, b]** şeklinde gösterilir ve a ile b dahil edilir.
• Karma Aralık: Bir tarafın dahil, diğer tarafın dahil edilmediği aralıklar. Örneğin, **(a, b]**.

Örnek 1:

3x - 2 < 7 eşitsizliğini çözelim:

• 3x < 7 + 2
• 3x < 9
• x < 9 / 3
• x < 3

Çözüm aralığı: **(-∞, 3)**

Örnek 2:

5 - 2x ≥ 1 eşitsizliğini çözelim:

• -2x ≥ 1 - 5
• -2x ≥ -4
• x ≤ 2
(Negatif sayı ile bölme yaptığımız için eşitsizlik yön değiştirdi.)

Çözüm aralığı: **(-∞, 2]**

4. Eşitsizliklerin Grafik Üzerinde Gösterimi

Eşitsizliklerin çözümleri sayı doğrusu üzerinde gösterilebilir. Sayı doğrusunda:

• Açık aralıklar (a < x < b) daire şeklinde gösterilir ve sınır değerler dahil edilmez.
• Kapalı aralıklar (a ≤ x ≤ b) dolu daire ile gösterilir ve sınır değerler dahil edilir.

Örnek:

x < 4 çözümünü sayı doğrusunda gösterelim:

• Sınır değeri 4 olan açık bir daire çizilir ve 4’ten küçük olan değerler sola doğru çizilir.

5. Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Mutlak değerli eşitsizlikler, mutlak değerin tanımına göre çözülür:

• |x| < a ise, **-a < x < a**
• |x| > a ise, **x < -a veya x > a**

Örnek:

|2x - 3| ≤ 5 eşitsizliğini çözelim:

• -5 ≤ 2x - 3 ≤ 5
• -2 ≤ 2x ≤ 8
• -1 ≤ x ≤ 4

Çözüm aralığı: **[-1, 4]**

Hap Bilgiler

• Eşitsizlik çözümünde negatif sayılarla bölme veya çarpma işlemi yapıldığında eşitsizlik yönü değişir.
• Açık aralıklar (a < x < b) sınır değerleri dahil etmez, kapalı aralıklar (a ≤ x ≤ b) sınır değerleri dahil eder.
• Mutlak değerli eşitsizliklerde, |x| < a ise, **-a < x < a** aralığı oluşur.

Soru Çözümü İçin İpuçları

• Eşitsizlik Çözümleri: Eşitsizlik çözümünde her iki tarafa aynı işlem uygularken işaret değişimini unutmayın, özellikle negatif sayılarla bölme veya çarpma işlemlerinde dikkat edin.
• Mutlak Değerli Eşitsizlikler: Mutlak değerli eşitsizliklerde iki durum olduğunu ve bu durumları ayrı ayrı çözerek birleştirmeniz gerektiğini unutmayın.
• Grafik Üzerinde Gösterim: Sayı doğrusu üzerinde açık veya kapalı aralıkları doğru bir şekilde temsil etmeye özen gösterin.

Örnek Sorular ve Çözümleri

Örnek Soru 1:

3x - 5 < 7 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

1. (-∞, 3)
2. (-∞, 4)
3. (-∞, 6)
4. (-∞, 2)
5. (-∞, 5)

Çözüm:

• 3x < 7 + 5
• 3x < 12
• x < 4

Çözüm kümesi: (-∞, 4)

Doğru cevap: B şıkkı.

Örnek Soru 2:

|2x - 1| ≤ 7 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

1. [-3, 4]
2. [-2, 3]
3. [0, 4]
4. [-5, 6]
5. [-6, 5]

Çözüm:

• -7 ≤ 2x - 1 ≤ 7
• -6 ≤ 2x ≤ 8
• -3 ≤ x ≤ 4

Çözüm kümesi: [-3, 4]

Doğru cevap: A şıkkı.