Mutlak Değer

AYT Matematik: Mutlak Değer Konu Özeti

Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Matematiksel olarak, negatif sayılar mutlak değer içerisinde pozitif yapılır, pozitif sayılar ise değişmeden kalır. Mutlak değer, **|x|** ile gösterilir ve şu şekilde tanımlanır:

• |x| = x, eğer x ≥ 0
• |x| = -x, eğer x < 0

Bu, x sayısının mutlak değerinin her zaman pozitif ya da sıfır olacağı anlamına gelir. Mutlak değer, negatif sayıları pozitif yapar ve pozitif sayıları değiştirmez.

1. Mutlak Değerin Tanımı

Bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusundaki sıfıra olan uzaklığıdır. Örneğin:

• |5| = 5 (5 sayısının sıfıra uzaklığı 5'tir)
• |-7| = 7 (-7 sayısının sıfıra uzaklığı 7'dir)
• |0| = 0 (Sıfırın sıfıra uzaklığı 0'dır)

2. Mutlak Değerin Özellikleri

Mutlak değerle ilgili bazı önemli özellikler şunlardır:

• |x| ≥ 0, tüm **x** değerleri için mutlak değer her zaman sıfır ya da pozitiftir.
• |x| = 0 ise, **x = 0** olmalıdır.
• |x × y| = |x| × |y|, çarpımın mutlak değeri, çarpanların mutlak değerlerinin çarpımına eşittir.
• |x / y| = |x| / |y|, bölmenin mutlak değeri, bölünen ve bölenin mutlak değerlerinin bölümüyle bulunur (y ≠ 0).
• |x + y| ≤ |x| + |y|, üçgen eşitsizliği olarak bilinir.

3. Mutlak Değerli Denklemler

Mutlak değerli denklemleri çözmek için, mutlak değerin pozitif ve negatif durumlarına göre iki farklı durum düşünülerek çözüm yapılır.

Örnek:

|x - 3| = 5 denkleminin çözümünü bulalım:

• **x - 3 = 5** ya da **x - 3 = -5**
• **x = 8** ya da **x = -2**

Çözüm kümesi: **{8, -2}**

4. Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Mutlak değerli eşitsizlikler, mutlak değerin tanımına göre iki farklı durum olarak ele alınır.

|x| < a Eşitsizliği:

**-a < x < a** olarak çözülür. Burada **a > 0** olmalıdır.

Örnek:

|x - 2| < 3 eşitsizliğini çözelim:

• -3 < x - 2 < 3
• -1 < x < 5

Çözüm kümesi: **(-1, 5)**

|x| > a Eşitsizliği:

**x < -a** veya **x > a** olarak çözülür. Burada da **a > 0** olmalıdır.

Örnek:

|x + 1| > 4 eşitsizliğini çözelim:

• x + 1 < -4 veya x + 1 > 4
• x < -5 veya x > 3

Çözüm kümesi: **(-∞, -5) ∪ (3, ∞)**

5. Sayı Doğrusunda Mutlak Değer

Mutlak değer, sayı doğrusunda iki sayı arasındaki uzaklığı bulmak için de kullanılır. İki sayı **a** ve **b** arasındaki uzaklık, **|a - b|** ya da **|b - a|** şeklinde hesaplanır.

Örnek:

5 ile -3 arasındaki uzaklık:

• |5 - (-3)| = |5 + 3| = |8| = 8

5 ile -3 arasındaki uzaklık 8 birimdir.

Hap Bilgiler

• |x|, x'in sıfıra olan uzaklığını gösterir ve daima sıfır ya da pozitiftir.
• |x| = 0 ise x = 0’dır.
• Mutlak değerli denklemler iki farklı durum düşünülerek çözülür.
• |x| < a ise, **-a < x < a** eşitsizliği vardır.
• |x| > a ise, **x < -a** veya **x > a** eşitsizliği vardır.

Soru Çözümü İçin İpuçları

• Mutlak Değerli Denklemler: Mutlak değerin pozitif ve negatif durumlarını düşünerek iki farklı denklem oluşturun ve çözün.
• Mutlak Değerli Eşitsizlikler: Eşitsizliği iki duruma ayırarak çözün ve çözüm kümesini aralık olarak ifade edin.
• Sayı Doğrusunda Uzaklık: İki sayı arasındaki uzaklığı bulurken mutlak değer kullanın. Uzaklık her zaman pozitiftir.

Örnek Sorular ve Çözümleri

Örnek Soru 1:

|2x - 3| = 7 denkleminin çözüm kümesi nedir?

1. {2, 5}
2. {-2, 5}
3. {-2, 7}
4. {3, -5}
5. {1, 7}

Çözüm:

• 2x - 3 = 7 veya 2x - 3 = -7
• 2x = 10 veya 2x = -4
• x = 5 veya x = -2

Çözüm kümesi: **{-2, 5}**

Doğru cevap: B şıkkı.

Örnek Soru 2:

|x - 4| < 6 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

1. (-2, 10)
2. (0, 8)
3. (-1, 9)
4. (-2, 6)
5. (1, 7)

Çözüm:

• -6 < x - 4 < 6
• -2 < x < 10

Çözüm kümesi: **(-2, 10)**

Doğru cevap: A şıkkı.