Üslü Sayılar

AYT Matematik: Üslü Sayılar Konu Özeti

Üslü sayılar, bir sayının kendisiyle belirli sayıda çarpılması işlemiyle tanımlanır. **aⁿ** ifadesi, **a** sayısının **n** defa kendisiyle çarpılması anlamına gelir ve **a** üssü **n** olarak okunur. Burada:

• **a**: Taban (baz)
• **n**: Üs

Örneğin, 2³ ifadesi **2 × 2 × 2 = 8** anlamına gelir. Bu bölümde üslü sayıların temel kuralları ve işlemleri ele alınacaktır.

1. Üslü Sayıların Temel Kuralları

Üslü sayılarla ilgili temel işlemler şu kurallara dayanır:

• Çarpma Kuralı: Aynı tabana sahip üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır.
  **a^m × aⁿ = a^m+n**
• Bölme Kuralı: Aynı tabana sahip üslü sayılar bölünürken üsler çıkarılır.
  **a^m ÷ aⁿ = a^m-n**
• Parantezli Üslü Sayılar: Üslü bir ifade tekrar üslü hale getirildiğinde, üsler çarpılır.
  **(a^m)ⁿ = a^m×n**
• Çarpımın Üssü: Çarpım durumundaki sayılar üslü yapılırsa, her sayı ayrı ayrı üssü alır.
  **(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ**
• Bölümün Üssü: Bölme işlemindeki sayılar üslü yapılırsa, her sayı ayrı ayrı üssü alır.
  **(a ÷ b)ⁿ = aⁿ ÷ bⁿ**
• Sıfırıncı Üs: Herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir (a ≠ 0).
  **a⁰ = 1**
• Birinci Üs: Herhangi bir sayının birinci kuvveti sayının kendisine eşittir.
  **a¹ = a**
• Negatif Üs: Negatif üs, sayının çarpma işlemine göre tersini alarak pozitif hale gelir.
  **a^-n = 1 / aⁿ**

Örnekler:

• 2³ × 2⁴ = 2⁷
• 5⁶ ÷ 5² = 5⁴
• (3²)³ = 3⁶
• (2 × 5)³ = 2³ × 5³ = 8 × 125 = 1000
• 4⁰ = 1
• 7^-2 = 1 / 7² = 1 / 49

2. Üslü Sayılarla Dört İşlem

2.1. Üslü Sayılarda Toplama ve Çıkarma

Üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapılabilmesi için, sayıların tabanları ve üsleri aynı olmalıdır. Eğer tabanlar ve üsler aynıysa, katsayılar toplanır veya çıkarılır.

• **Örnek:** 3 × 2⁴ + 5 × 2⁴ = (3 + 5) × 2⁴ = 8 × 16 = 128

2.2. Üslü Sayılarda Çarpma ve Bölme

Çarpma ve bölme işlemlerinde, yukarıda belirtilen kurallar kullanılarak işlem yapılır. Aynı tabanlı üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır, bölünürken üsler çıkarılır.

• **Örnek:** 4³ × 4² = 4⁵
• **Örnek:** 5⁶ ÷ 5³ = 5³

3. Negatif Üslü Sayılar

Negatif üs, sayının tersini almak anlamına gelir. **a^-n**, **1 / aⁿ** anlamına gelir.

Örnek:

• 2^-3 = 1 / 2³ = 1 / 8
• 5^-2 = 1 / 5² = 1 / 25

4. Üslü Sayılarda Ondalık Gösterim

Üslü sayılar, ondalık kesir şeklinde de ifade edilebilir. Örneğin, 10’un kuvvetleri ondalık sayıları ifade etmekte kullanılır:

• 10³ = 1000
• 10^-2 = 1 / 100 = 0.01

Örnekler:

• 3.2 × 10⁴ = 32000
• 5.7 × 10^-3 = 0.0057

5. Üslü Sayılar ve Kökler

Bir sayının üslü hali, köklerle de ifade edilebilir. **a^1/n** ifadesi, **n**'inci dereceden kökü ifade eder. Örneğin:

• **a^1/2 = √a** (a'nın karekökü)
• **a^1/3 = ∛a** (a'nın küpkökü)

Örnekler:

• 64^1/2 = √64 = 8
• 27^1/3 = ∛27 = 3

Hap Bilgiler

• Üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır, bölünürken üsler çıkarılır.
• Negatif üs, sayının tersini alarak pozitif hale getirir. **a^-n = 1 / aⁿ**
• Her sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir. **a⁰ = 1**
• Üslü sayılar köklü sayılarla ilişkilidir. **a^1/2 = √a**, **a^1/3 = ∛a**

Soru Çözümü İçin İpuçları

• Çarpma ve Bölme İşlemleri: Aynı tabanlı üslü sayıları çarparken üsleri toplayın, bölme işleminde üsleri çıkarın.
• Negatif Üslü Sayılar: Negatif üssü pozitif yapmak için sayının tersini alın.
• Ondalık Gösterim: Üslü sayıları ondalık kesirler olarak ifade edebilmek için 10’un kuvvetlerini kullanın.

Örnek Sorular ve Çözümleri

Örnek Soru 1:

2⁴ × 2^-2 işleminin sonucu kaçtır?

1. 2
2. 4
3. 8
4. 16
5. 32

Çözüm:

Üsler toplanır: 2^{4 + (-2)} = 2² = 4.

Doğru cevap: B şıkkı.

Örnek Soru 2:

(3²)³ işleminin sonucu kaçtır?

1. 9
2. 27
3. 81
4. 243
5. 729

Çözüm:

Üsler çarpılır: (3²)³ = 3^2×3 = 3⁶ = 729.

Doğru cevap: E şıkkı.