Köklü Sayılar

AYT Matematik: Köklü Sayılar Konu Özeti

Köklü sayılar, bir sayının kök derecesine göre elde edilen sayılar olarak tanımlanır. Kareköklü ve küpköklü ifadeler gibi çeşitli kök derecelerine sahip sayılar matematiksel işlemlerde sıklıkla kullanılır. **√a** şeklinde gösterilen ifadeler, köklü sayılar olarak adlandırılır ve **a** sayısının karekökünü ifade eder. Bu bölümde köklü sayılarla ilgili temel kurallar ve işlemler ele alınacaktır.

1. Köklü Sayıların Tanımı

Köklü bir sayı, bir sayının kök derecesine göre hesaplanır. Genel olarak:

• **√a:** a sayısının kareköküdür. Örneğin, **√9 = 3** (çünkü 3 × 3 = 9).
• **∛a:** a sayısının küpköküdür. Örneğin, **∛8 = 2** (çünkü 2 × 2 × 2 = 8).

Köklü sayılar genellikle karekök olarak bilinir, ancak farklı kök derecelerinde de kullanılabilir.

2. Köklü Sayılarda Temel Kurallar

• **Kökten Çıkarma:** Eğer kök içerisindeki sayı tam kare bir sayıysa, kök dışına çıkarılabilir. Örneğin, **√16 = 4**.
• **Çarpma ve Bölme Kuralı:** Köklü sayılar çarpılırken ve bölünürken kök içerisindeki sayılar birlikte işlem görür. Örneğin, **√a × √b = √(a × b)** ve **√a ÷ √b = √(a ÷ b)**.
• **Toplama ve Çıkarma:** Köklü sayılar toplanıp çıkarılabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir. Örneğin, **√2 + √2 = 2√2**, ancak **√2 + √3** toplanamaz.
• **Köklü İfadelerin Üssü:** **(√a)² = a** ve **(a^1/2)² = a**.

Örnekler:

• √25 = 5 (çünkü 5 × 5 = 25)
• √(9 × 4) = √36 = 6
• √12 ÷ √3 = √(12 ÷ 3) = √4 = 2
• √2 + √2 = 2√2
• √18 = √(9 × 2) = 3√2

3. Köklü Sayılarda Dört İşlem

3.1. Köklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma

Köklü sayılar toplanırken veya çıkarılırken kök içleri aynıysa toplama ve çıkarma işlemi yapılabilir. Eğer kök içleri aynı değilse işlem yapılamaz.

• **Örnek:** √3 + √3 = 2√3
• **Örnek:** 2√5 - √5 = √5
• **Örnek:** √7 + √5 (Bu işlem yapılamaz, çünkü kök içleri farklıdır.)

3.2. Köklü Sayılarda Çarpma ve Bölme

Köklü sayılar çarpılırken veya bölünürken kök içleri birlikte işlem görür. Çarpma ve bölme işlemleri köklü ifadelerde rahatça yapılabilir.

• **Örnek:** √3 × √12 = √(3 × 12) = √36 = 6
• **Örnek:** √20 ÷ √5 = √(20 ÷ 5) = √4 = 2

4. Köklü Sayıların Üslü Sayılarla İlişkisi

Köklü sayılar üslü sayılarla ilişkilidir. **a^1/n** ifadesi, **n**'inci dereceden kök anlamına gelir. Örneğin:

• **a^1/2 = √a**
• **a^1/3 = ∛a**

Örnekler:

• 25^1/2 = √25 = 5
• 8^1/3 = ∛8 = 2

5. Rasyonel Denklemler ve Köklü Sayılar

Köklü ifadeler rasyonel hale getirilebilir. Bu işlem genellikle kök içindeki sayıyı kök dışına çıkarmak veya payda da köklü ifade varsa, paydayı köklü sayıdan kurtarmak (rasyonelleştirme) ile yapılır.

Örnek:

1 / √2 ifadesi rasyonelleştirilir:

• 1 / √2 ifadesinin paydasındaki köklü ifadeyi yok etmek için hem pay hem de paydayı √2 ile çarparız:
• (1 × √2) / (√2 × √2) = √2 / 2

Sonuç: **√2 / 2**

Hap Bilgiler

• **√a** ifadesi, a'nın kareköküdür ve yalnızca pozitif sayılarda kullanılır.
• Köklü sayılar toplanırken ve çıkarılırken, yalnızca kök içleri aynı olan terimler toplanıp çıkarılabilir.
• Köklü sayılar çarpılırken veya bölünürken kök içleri birlikte işlem görür.
• **a^1/n** ifadesi, **n**'inci dereceden kök anlamına gelir.
• Rasyonelleştirme, köklü ifadelerin paydayı köklü sayıdan kurtarma işlemidir.

Soru Çözümü İçin İpuçları

• Toplama ve Çıkarma İşlemleri: Köklü sayıları toplarken kök içlerinin aynı olup olmadığını kontrol edin. Eğer kök içleri aynı değilse toplama yapılamaz.
• Rasyonelleştirme: Paydalarda köklü ifadeleri rasyonelleştirmek için pay ve paydayı kök içiyle çarpın.
• Üslü Sayılarla İlişki: Üslü ifadeleri köklü sayılarla ilişkilendirirken, üslü sayıları kök ifadelerine dönüştürerek işlemi basitleştirin.

Örnek Sorular ve Çözümleri

Örnek Soru 1:

√18 + 2√8 işleminin sonucu nedir?

1. 5√2
2. 4√2
3. 6√2
4. 7√2
5. 8√2

Çözüm:

• √18 = √(9 × 2) = 3√2
• 2√8 = 2 × √(4 × 2) = 2 × 2√2 = 4√2
• 3√2 + 4√2 = 7√2

Doğru cevap: D şıkkı.

Örnek Soru 2:

1 / √5 ifadesini rasyonelleştiriniz.

1. √5 / 5
2. 5 / √5
3. √5 / 25
4. 1 / 5
5. 5 / 25

Çözüm:

• Paydayı köklü sayıdan kurtarmak için hem payı hem de paydayı √5 ile çarparız:
• (1 × √5) / (√5 × √5) = √5 / 5

Doğru cevap: A şıkkı.