Çarpanlara Ayırma

AYT Matematik: Çarpanlara Ayırma Konu Özeti

Çarpanlara ayırma, bir polinomu veya sayıyı, çarpanlarının çarpımı şeklinde yazma işlemidir. Çarpanlara ayırma işlemi, özellikle denklemlerin çözümünde ve sadeleştirme işlemlerinde oldukça önemli bir yere sahiptir. Temel faktörlerden biri, ifadenin daha küçük çarpanlara bölünerek sadeleştirilmesidir. Bu bölümde çarpanlara ayırma yöntemleri ve bu işlemlerin uygulanışı incelenecektir.

1. Ortak Çarpan Parantezine Alma

Bir ifadenin tüm terimlerinde ortak olan bir çarpan varsa, bu çarpan parantez dışına alınarak işlem yapılabilir. Bu yöntemde ifadelerdeki ortak çarpanlar bulunur ve parantez dışında yazılır.

Örnek:

2x³ + 4x² = 2x²(x + 2)

2. Tam Kare Terimlerin Çarpanlara Ayrılması

Bir tam kare ifade, iki terimin karesi olarak yazıldığında, çarpanlarına şu şekilde ayrılabilir:

• a² + 2ab + b² = (a + b)²
• a² - 2ab + b² = (a - b)²

Örnek:

x² + 6x + 9 = (x + 3)²

3. Farklı İki Kare Formülü

İki kare farkı formülü, iki terimin farkının çarpanlarına ayrılmasında kullanılır. Bu formül şu şekildedir:

a² - b² = (a - b)(a + b)

Örnek:

x² - 16 = (x - 4)(x + 4)

4. Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma

İkiden fazla terim içeren ifadelerde, gruplandırma yöntemi kullanılarak ortak çarpanlar alınır ve çarpanlara ayrılır. Bu yöntem genellikle dört terimli ifadelerde kullanılır.

Örnek:

ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)

5. Üç Terimli Polinomların Çarpanlara Ayrılması

**ax² + bx + c** şeklindeki üç terimli polinomlar, çarpanlarına ayrılabilir. Genellikle çarpımları sabit terimi (c), toplamları ise orta terimi (b) veren iki sayı bulunur.

Örnek:

x² + 7x + 10 = (x + 5)(x + 2)

Bu örnekte çarpımları 10, toplamları 7 olan iki sayı 5 ve 2'dir.

6. Özel Çarpanlar

• Binom Açılımı: a² + 2ab + b² = (a + b)²
• Üç Terim Formülü: ax² + bx + c gibi ifadeler, çarpımları c, toplamları b olan iki sayı bulunarak çarpanlarına ayrılabilir.

Örnek:

4x² - 25 = (2x - 5)(2x + 5)

Hap Bilgiler

• Çarpanlara ayırma işlemlerinde öncelikle ortak çarpanları bulup paranteze alın.
• İki kare farkı formülü: a² - b² = (a - b)(a + b) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
• Tam kare ifadeler: a² + 2ab + b² = (a + b)² şeklinde çarpanlarına ayrılır.
• Üç terimli polinomlar, çarpanları b ve c olan iki sayı bulunarak çarpanlarına ayrılabilir.
• Dört terimli ifadelerde, gruplandırma yöntemi ile çarpanlara ayırma işlemi yapılabilir.

Soru Çözümü İçin İpuçları

• Ortak Çarpan Parantezine Alma: İfadenin tüm terimlerinde ortak olan çarpanı bulun ve parantez dışına alın.
• İki Kare Farkı: Bir ifade iki terimden oluşuyorsa, kare farkı olup olmadığını kontrol edin ve (a - b)(a + b) formülünü kullanın.
• Üç Terimli İfadeler: Üç terimli ifadeleri çarpanlara ayırırken çarpım ve toplam yöntemini kullanarak çarpanları bulun.
• Gruplandırma Yöntemi: Dört terimli ifadeleri grup halinde ayırarak ortak çarpanları bulun ve çarpanlarına ayırın.

Örnek Sorular ve Çözümleri

Örnek Soru 1:

x² - 16 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

1. (x - 4)(x + 4)
2. (x - 2)(x + 8)
3. (x - 8)(x + 2)
4. (x - 5)(x + 3)
5. (x - 3)(x + 5)

Çözüm:

Bu ifade iki kare farkıdır. x² - 16 = (x - 4)(x + 4)

Doğru cevap: A şıkkı.

Örnek Soru 2:

x² + 9x + 20 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

1. (x + 5)(x + 4)
2. (x + 10)(x - 2)
3. (x + 2)(x - 10)
4. (x + 6)(x + 4)
5. (x + 3)(x + 7)

Çözüm:

Çarpımları 20, toplamları 9 olan iki sayı 5 ve 4’tür. Dolayısıyla: x² + 9x + 20 = (x + 5)(x + 4)

Doğru cevap: A şıkkı.