AYT Matematik: Kümeler Konu Özeti

Kümeler, matematikte belirli özelliklere sahip nesnelerin oluşturduğu topluluktur ve kümeler arasındaki ilişkileri inceleyerek nesneler üzerinde işlemler yapılmasını sağlar.

1. Kümelerin Gösterimi

• Liste Yöntemi: Elemanlar küme parantezi içinde ve virgülle ayrılarak yazılır, örn. A = {1,2,3}
• Ortak Özellik Yöntemi: Elemanların ortak özellikleri belirtilir, örn. B = {x | x ∈ N, x < 5}
• Venn Şeması: Küme elemanları kapalı bir eğri (daire, oval) içinde gösterilir. Bu yöntem, özellikle kümelenmiş problemlerde tercih edilir.

2. Kümelerin Çeşitleri

• Sonlu Küme: Eleman sayısını içerir, örn. A = {1,2,3,4}
• Sonsuz Küme: Eleman sayısı sonsuzdur, örn. Doğal sayılar kümesi
• Boş Küme: Hiçbir elemanı yoktur, ∅ veya {} ile gösterilir.

3. Alt Küme

• Her kümenin kendine ait alt kümesi vardır: A ⊆ A
• Boş küme tüm kümelerin alt kümesidir: ∅ ⊂ A
• Alt Küme Sayısı: n elemanlı bir kümenin 2ⁿ alt kümesi, 2ⁿ − 1 öz alt kümesi vardır.

Küme Eleman Sayısı (n)	Alt Küme Sayısı (2n)	Öz Alt Küme Sayısı (2n − 1)
1	2	1
2	4	3
3	8	7
4	16	15

4. Küme İşlemleri

• Birleşim (A ∪ B): A veya B kümesindeki tüm elemanlardan oluşur.
  Özellikler: A ∪ A = A, A ∪ ∅ = A
• Kesişim (A ∩ B): Hem A hem B kümesinde bulunan elemanlardan oluşur.
  Özellikler: A ∩ A = A, A ∩ ∅ = ∅
• Fark (A − B): A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlardan oluşur.
• Tümleme (A′): Evrensel kümedeki, A kümesinde bulunmayan elemanlar.

5. De Morgan Kuralları

• (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
• (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

6. Kartezyen Çarpım

• Tanım: A ve B kümeleri için A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
• Özellikler: |A × B| = |A| ⋅ |B|

Hap Bilgiler

• n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿ, öz alt küme sayısı 2ⁿ - 1'dir.
• Kümelerin birleşim ve kesişim işlemleri değişme ve birleşme özelliğine sahiptir.
• Evrensel küme içinde bir A kümesi için A ∪ A′ = E ve A ∩ A′ = ∅ geçerlidir.

Örnek Sorular ve Çözümleri

Örnek Soru 1

Bir iki basamaklı AB doğal sayısı ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

• p: AB sayısı tek sayı.
• q: AB sayısı asal sayı.
• r: A ⋅ B = 12.

(p → q) ∧ (¬q ∧ r) önerme kümesi doğru olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?

Çözüm:

1. AB asal değil ve A ⋅ B = 12 olmalı.
2. A ⋅ B = 12 koşulunu sağlayan iki basamaklı asal olmayan sayılar: 26 ve 62.
3. A + B toplamları:
   26 için A + B = 2 + 6 = 8
   62 için A + B = 6 + 2 = 8

Doğru cevap: B şıkkı.

Örnek Soru 2

Aşağıdaki kümeler veriliyor:

• A = {3, 5, 6, 8}
• B = {2, 4, 6, 7}
• C = {a, b}

(A ∪ C) × (B ∪ C) kartezyen çarpımının eleman sayısı 24 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

Çözüm:

1. |A| = 4 ve |B| = 4 olduğundan, |A ∪ C| × |B ∪ C| = 24 olması için her iki birleşim kümesinin eleman sayısı 6 olmalıdır.
2. Bu durumda, C kümesindeki a ve b elemanları A ve B kümelerinde bulunmayan rakamlar olmalıdır.
3. A ve B'de olmayan rakamlar 1 ve 9’dur.
4. Bu yüzden a + b = 1 + 9 = 10

Doğru cevap: E şıkkı.