AYT Matematik: Permütasyon ve Kombinasyon

Permütasyon ve kombinasyon, elemanlardan oluşan bir kümenin farklı düzenlerde sıralanması ve alt kümelerinin seçilmesi işlemlerini kapsar. Bu konular, özellikle olasılık ve istatistik sorularında önemli bir yer tutar.

Permütasyon

Bir kümedeki elemanların sıralanmasını ifade eder. Sıralamanın önemli olduğu durumlarda kullanılır.

1. Sıralı Permütasyon

Bir kümede, tüm elemanların ya da belirli sayıda elemanın sıralanmasını ifade eder.

n elemanlı kümenin r’li permütasyonu:

P(n, r) = n! / (n - r)!

n elemanın tamamının permütasyonu:

P(n, n) = n!

2. Tekrarlı Permütasyon

Bazı elemanlar tekrar ediyorsa, sıralamayı bu duruma göre yaparız.

n elemandan, p, q, r… gibi tekrar eden elemanların permütasyonu:

n! / (p! ⋅ q! ⋅ r!...)

Kombinasyon

Elemanların sıralama olmaksızın gruplandırılmasını ifade eder. Sıralamanın önemsiz olduğu durumlarda kullanılır.

n elemanlı bir kümenin r elemanlı kombinasyonu:

C(n, r) = (n! / (r! (n - r)!))

Permütasyon ve Kombinasyon Arasındaki Farklar

• Permütasyon: Sıralama önemli, yani A, B, C sıralaması ile C, B, A sıralaması farklıdır.
• Kombinasyon: Sıralama önemsiz, yani A, B, C grubu ile C, B, A grubu aynıdır.

Hap Bilgiler

• n!: n sayısının faktöriyelini ifade eder ve n ile 1 arasındaki tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır.
• Kombinasyon işlemi simetriktir: C(n, r) = C(n, n - r).
• Tekrarlı permütasyonlarda: Tekrar eden elemanların sıralaması aynı kabul edildiği için bölme işlemi yapılır.

Soru Çözümü İçin İpuçları

• Permütasyon mu, Kombinasyon mu?: Sıralamanın önemli olup olmadığını kontrol edin. Sıralama varsa permütasyon, yoksa kombinasyon kullanın.
• Tekrarlı Durumlar: Eğer soruda aynı türden elemanlar varsa tekrarlı permütasyon formülünü göz önünde bulundurun.
• Özellikle Büyük Sayılarda: Faktöriyel işlemleri kullanırken sadeleştirme yaparak işlem yükünü azaltın.
• Simetri Özelliği: Kombinasyonlarda, C(n, r) = C(n, n - r) özelliğini kullanarak işlemi basitleştirin.

Örnek Sorular ve Çözümleri

Örnek Soru 1

6 farklı kitap, yaşları farklı 3 öğrenciye dağıtılacaktır. En büyük öğrenci 1 kitap alacak ve diğer öğrenciler ise en az bir kitap alacaktır. Bu kitaplar kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

Çözümü:

1. En büyük öğrenciye 1 kitap verelim. 6 kitaptan 1 tanesini seçip veriyoruz: C(6, 1) = 6.
2. Kalan 5 kitabı, diğer iki öğrenciye en az birer kitap alacak şekilde dağıtalım.
   • 4 kitap-1 kitap dağıtımı: C(5, 4) × C(1, 1) = 5 × 1 = 5.
   • 3 kitap-2 kitap dağıtımı: C(5, 3) × C(2, 2) = 10 × 1 = 10.
   • 2 kitap-3 kitap dağıtımı: C(5, 2) × C(3, 3) = 10 × 1 = 10.
   • 1 kitap-4 kitap dağıtımı: C(5, 1) × C(4, 4) = 5 × 1 = 5.
3. Toplam dağıtım sayısı: 6 × (5 + 10 + 10 + 5) = 6 × 30 = 180.

Doğru cevap: E şıkkı.

Örnek Soru 2

Bir sınıfta birbirinden farklı 6 oyuncak, 4 çocuğa dağıtılacaktır. Her çocuk en az bir oyuncak alacak şekilde bu dağıtım kaç farklı şekilde yapılabilir?

Çözümü:

1. Oyuncakların hangi çocuğa 2 tane verileceğini seçelim: C(4, 1) = 4 yol vardır.
2. Seçilen çocuğa 2 oyuncak vereceğiz ve 6 oyuncaktan 2’sini seçmemiz gerekiyor: C(6, 2) = 15 yol.
3. Geriye kalan 4 oyuncağı, 3 çocuğa her birine birer tane olacak şekilde dağıtacağız: 4! = 24 farklı yol.
4. Toplam dağıtım sayısını hesaplayalım: 4 × 15 × 24 = 1440.

Doğru cevap: D şıkkı.