AYT-Matematik: 2. Dereceden Eşitsizlikler Konu Özeti

2. dereceden eşitsizlikler genel formu ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c ≥ 0 veya ax² + bx + c ≤ 0 olan eşitsizliklerdir. Burada a, b ve c reel sayılardır ve a ≠ 0 koşulu sağlanır. Bu tür eşitsizlikler, parabol kavramı kullanarak çözülür ve çözüm kümeleri sayı doğrusu üzerinde gösterilir.

1. 2. Dereceden Eşitsizliklerin Çözüm Adımları

1. Denklemin Köklerini Bulma: Eşitsizliği sağlayan kökler, ifadenin sıfıra eşitlenmesiyle bulunur: ax² + bx + c = 0.
   • Diskriminant yardımıyla kökler bulunur: Δ = b² − 4ac.
     • Δ > 0: İki farklı reel kök vardır.
     • Δ = 0: Çakışık iki kök vardır.
     • Δ < 0: Reel kök yoktur.
2. Parabolün Kollarının Yönünü Belirleme: Katsayı a'nın işareti, parabolün yönünü belirler.
   • a > 0: Parabol yukarıya doğru kolları açık.
   • a < 0: Parabol aşağıya doğru kolları açık.
3. Eşitsizliği Sağlayan Aralıkları Belirleme:
   • Parabol grafiği yardımıyla, köklerin (varsa) arasındaki ve dışındaki bölgelerde fonksiyonun işareti belirlenir.
   • Eğer eşitsizlik > veya < şeklinde ise, çözüm kümelerine kökler dahil edilmez.
   • Eğer eşitsizlik ≥ veya ≤ şeklinde ise, çözüm kümelerine kökler dahil edilir.
4. Çözüm Kümesini Yazma: Aralıklar belirlenir ve uygun sembollerle çözüm kümesi ifade edilir.

2. Özel Durumlar

Durum	Çözüm Özeti
ax2 + bx + c > 0	Parabol yukarıya bakan durumda köklerin dışı, aşağıya bakan durumda köklerin arası çözümdür.
ax2 + bx + c < 0	Parabol yukarıya bakan durumda köklerin arası, aşağıya bakan durumda köklerin dışı çözümdür.
ax2 + bx + c ≥ 0 veya ≤ 0	Eşitsizlikte “eşit” durumu varsa kökler de çözüme dahil edilir.
Reel kök yoksa (Δ < 0)	Parabol tamamen pozitif veya negatiftir; a > 0 ise tüm x değerleri için > 0, a < 0 ise tüm x değerleri için < 0 olur.

3. İşaret Tablosu Yöntemi

2. dereceden eşitsizliklerde kökler bulunduktan sonra, işaret tablosu yardımıyla ifadenin hangi aralıkta pozitif veya negatif olduğu kolayca belirlenebilir.

İşaret Tablosu Nasıl Oluşturulur?

1. Eşitsizlik sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.
2. Kökler sayı doğrusunda işaretlenir.
3. Parabolün kollarına göre, işaret değişimleri yapılır ve her aralığın pozitif veya negatif olduğu belirlenir.

Hap Bilgiler

• Parabol yukarıya bakıyorsa (a > 0), ax² + bx + c > 0 eşitsizliğinin çözümü köklerin dışında kalan aralıklardır.
• Parabol aşağıya bakıyorsa (a < 0), ax² + bx + c > 0 eşitsizliğinin çözümü köklerin arasındaki aralıktır.
• Reel kök yoksa, parabolün pozitif veya negatif olup olmadığına göre tüm x değerleri çözüm olabilir.

Soru Çözümü için İpuçları

• Diskriminant Hesabı: Öncelikle diskriminant hesaplanarak köklerin varlığı ve niteliği anlaşılmalı.
• Parabol Grafiğini Hayal Etme: Parabolün kollarının yönünü belirleyerek, işaret tablosu üzerinde doğru aralığı seçmek daha kolay hale gelir.
• Köklerin Dışında mı İçinde mi? Soruda “büyük” veya “küçük” işareti olup olmadığına dikkat edilmelidir. Köklerin dahil edilip edilmeyeceğine göre aralıklar belirlenir.
• Sayı Doğrusu Üzerinde Çözüm Kümesi Gösterimi: Çözüm kümeleri mutlaka sayı doğrusu üzerinde gösterilmeli ve açık/kapalı aralık sembolleri dikkatli kullanılmalıdır.

Örnek Sorular ve Çözümleri

Örnek Soru 1

f(x) = x² − 5x + 6 < 0 eşitsizliğini çözünüz.

Çözümü:

1. Denklemin köklerini bulma: Öncelikle x² − 5x + 6 = 0 denkleminin köklerini bulalım.

   Diskriminant: Δ = (−5)² − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 25 − 24 = 1

   Kökler: x₁ = 2 ve x₂ = 3

2. Parabolün kollarının yönünü belirleme: a = 1 olduğu için parabol yukarıya doğru açılır.
3. Eşitsizliği sağlayan aralıkları belirleme: Parabol yukarı doğru açıldığından, f(x) < 0 eşitsizliği kökler arasındaki bölgede doğrudur.

   Çözüm aralığı: (2, 3)

4. Çözüm Kümesini Yazma: Çözüm kümesi: (2, 3)

Doğru cevap: B şıkkı.

Örnek Soru 2

g(x) = −2x² + 8x − 6 ≥ 0 eşitsizliğini çözünüz.

Çözümü:

1. Denklemin köklerini bulma: Öncelikle −2x² + 8x − 6 = 0 denklemini çözerek kökleri bulalım.

   Diskriminant: Δ = 8² − 4 ⋅ (−2) ⋅ (−6) = 64 − 48 = 16

   Kökler: x₁ = 1 ve x₂ = 3

2. Parabolün kollarının yönünü belirleme: a = −2 olduğundan parabol aşağıya doğru açılır.
3. Eşitsizliği sağlayan aralıkları belirleme: Parabol aşağı doğru açıldığından, g(x) ≥ 0 eşitsizliği kökler arasındaki bölgede sağlanır. Eşitlik içeriğinden kökler de dahil edilir.

   Çözüm aralığı: [1, 3]

4. Çözüm Kümesini Yazma: Çözüm kümesi: [1, 3]

Doğru cevap: C şıkkı.