AYT-Matematik: Parabol Konu Özeti

Parabol Nedir?

Parabol, ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini temsil eden eğridir. Genel formu: y = ax² + bx + c şeklindedir ve bu ifade bir ikinci derece polinom fonksiyondur. Parabol grafiği, a katsayısının pozitif veya negatif olmasına bağlı olarak yukarı ya da aşağı doğru açılır.

Parabolün Genel Özellikleri

1. Tepe Noktası (Vertex):
   • Parabolün maksimum ya da minimum noktasıdır.
   • Tepe noktası, x = -b / 2a formülüyle hesaplanır.
   • Tepe noktasının y değeri ise y = -D / 4a ile bulunur.
2. Simetri Ekseni:
   • Tepe noktasından geçen ve parabole simetri sağlayan eksendir.
   • x = -b / 2a doğrusu parabolün simetri eksenidir.
3. a Katsayısı:
   • Parabolün açıklığını ve yönünü belirler.
   • a > 0 ise parabol yukarı doğru açılır (açık ağız yukarı).
   • a < 0 ise parabol aşağı doğru açılır (açık ağız aşağı).
4. Kökler (X Ekseni Kesim Noktaları):
   • Parabolün x eksenini kestiği noktalar kök olarak adlandırılır.
   • Diskriminant (D) kullanılarak kökler bulunur: D = b² − 4ac.
     • D > 0: İki gerçek kök.
     • D = 0: Tek (çakışık) kök.
     • D < 0: Gerçek kök yok (x eksenini kesmez).

Parabolün Çizimi İçin Önemli Noktalar

1. Tepe Noktasının Bulunması: Tepe noktası koordinatları (-b / 2a, D / 4a) formülünden hesaplanır.
2. X ve Y Kesim Noktaları:
   • Y ekseni kesim noktası: Parabolün x = 0 iken aldığı değerdir, yani y = c.
   • X ekseni kesim noktaları: Kökler (diskriminant yardımıyla bulunur).
3. Grafik Yönü:
   • a pozitif ise parabol yukarı açılır.
   • a negatif ise parabol aşağı açılır.

Hap Bilgiler

• Parabolün simetri ekseni her zaman x = -b / 2a doğrusu üzerindedir.
• a değeri parabolün açılma yönünü ve açıklığını belirler.
• Tepe noktasının y değeri, maksimum ya da minimum fonksiyon değeri olarak adlandırılır.
• Diskriminantın işareti, parabolün x eksenini kesip kesmediğini gösterir.

Soru Çözümü İçin İpuçları

1. Tepe Noktasını Kullanarak Minimum veya Maksimum Bulma: Parabolün tepe noktasındaki y değeri, fonksiyonun maksimum veya minimum değeri olarak kullanılır.
2. Köklerin Hesaplanması: X eksenini kestiği noktaları bulmak için diskriminantı hesaplayın. Bu sayede köklerin varlığını ve sayısını belirleyebilirsiniz.
3. Grafiğin Yönünü Belirleme: Parabolün yönünü belirlemek için a katsayısına bakın.
4. Y Eksenini Kestiği Noktayı Kolayca Bulun: Parabolün y eksenini kestiği nokta, sabit terim olan c değeridir.

Örnek Sorular ve Çözümleri

Örnek Soru 1

Bir parabolün denklemi y = ax² + bx + c şeklindedir. Bu parabol, x eksenini x = −2 ve x = 4 noktalarında kesmektedir. Ayrıca, parabolün tepe noktası y ekseninin negatif tarafındadır. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) Parabolün kolları yukarı doğrudur ve a > 0.
• B) Parabolün kolları aşağı doğrudur ve a < 0.
• C) Parabolün tepe noktası y ekseninin pozitif tarafındadır.
• D) Parabolün tepe noktası x ekseninin negatif tarafındadır.
• E) Parabolün kolları aşağı doğrudur ve a > 0.

Çözümü:

1. Parabolün x eksenini kestiği noktalar köklerdir ve bu kökler x = −2 ve x = 4 olduğuna göre, parabolün denklemi şu şekilde yazılabilir: y = a(x + 2)(x − 4).
2. Tepe noktası, köklerin tam ortasında bulunur. Köklerin ortalaması: x = (−2 + 4) / 2 = 1.
3. Tepe noktasının y ekseninin negatif tarafında olması için, tepe noktasındaki y değerinin negatif olması gerekir. Tepe noktasındaki y değerini bulmak için x = 1 değerini denkleme yerleştirelim:

   y = a(1 + 2)(1 − 4) = a ⋅ 3 ⋅ (−3) = −9a.

4. Bu değerin negatif olması için −9a < 0 olmalıdır. Buradan a > 0 sonucu çıkar. Yani, parabolün kolları yukarıya doğrudur.

Doğru Cevap: A şıkkı.

Örnek Soru 2

f(x) = x² − 10x + k parabolü, x eksenine teğet olduğuna göre, k kaçtır?

• A) 16
• B) 20
• C) 25
• D) 30
• E) 36

Çözümü:

1. Bir parabolün x eksenine teğet olması durumu, diskriminantın sıfır olduğu anlamına gelir. Yani, b² − 4ac = 0 olmalıdır.
2. Bu durumda, a = 1, b = −10 ve c = k olduğuna göre, diskriminantı hesaplayalım:

   (−10)² − 4 ⋅ 1 ⋅ k = 0

   100 − 4k = 0

   4k = 100

   k = 25

Doğru Cevap: C şıkkı.