AYT-Matematik: Logaritma Konu Özeti

1. Logaritma Tanımı ve Temel Özellikleri

Logaritma, bir sayının bir başka sayının üssü olarak ifade edilmesidir. Logaritma, bir sayıyı başka bir sayıya üs olarak yazabilme yeteneği sağlar.

Bir a sayısının, tabanı b olan logaritması, x olarak ifade edilirse:

log_ba = x → b^x = a

Burada:

• b: Logaritmanın tabanı (Pozitif ve 1'den farklı bir sayı olmalı).
• a: Logaritması alınan sayı (Pozitif bir sayı olmalı).
• x: Sonuç (Logaritmanın değeri).

Önemli Notasyonlar

log₁₀a , 10 tabanında alınan logaritmayı ifade eder ve genellikle log a olarak yazılır.

ln a, e tabanında (doğal logaritma) alınan logaritmayı ifade eder.

2. Logaritmanın Temel Kuralları

Kural	Açıklama	Örnek
Çarpma Kuralı	logb(m ∙ n) = logbm + logbn	log2(8 ∙ 4) = log28 + log24 = 3 + 2 = 5
Bölme Kuralı	logb(m / n) = logbm − logbn	log3(27 / 3) = log327 − log33 = 2
Üs Kuralı	logb(mk) = k ⋅ logbm	log2(43) = 3 ⋅ log24 = 3 ∙ 2 = 6
Değişim Tabanı Kuralı	logba = logca / logcb	log525 = log1025 / log105 = 2

Bu kurallar, özellikle logaritmalı denklemlerde ve sadeleştirme işlemlerinde çok sık kullanılır.

3. Logaritma Fonksiyonu ve Özellikleri

Logaritma fonksiyonu, f(x) = log_bx ile tanımlıdır ve temel özellikleri şunlardır:

• Tanım Kümesi: x > 0
• Değer Kümesi: Tüm reel sayılar (R)
• Grafik: x eksenini 1 noktasından keser; logaritma fonksiyonları monoton artan (taban b > 1) veya azalan (taban 0 < b < 1) fonksiyonlardır.

Fonksiyonun grafiğinde taban büyüdükçe eğim azalır, taban küçüldükçe (pozitif ve 1’den küçük) eğim artar.

4. Logaritma ile Üstlü Sayılar Arasındaki İlişki

Logaritma fonksiyonları, üst fonksiyonlarının tersidir. Bu özellik sayesinde, üstlü denklemler logaritmaya dönüştürülerek çözülür.

Örnek: Eğer 2^x = 8 ise, her iki tarafın logaritmasını alarak çözebiliriz:

log₂(2^x) = log₂8 ⇒ x = 3

Hap Bilgiler

• log_b1 = 0 ve log_bb = 1 her zaman doğrudur.
• Tabandaki sayı arttıkça logaritma fonksiyonu daha yavaş artar.
• Logaritma işlemlerinde çarpma toplama, bölme çıkarma olarak yazılabilir.
• Negatif veya sıfır değerlerin logaritması tanımsızdır.

Soru Çözümü için İpuçları

• Kural Bilgisi: Soruları çözerken logaritmanın çarpma, bölme, üs kurallarını hatırlayın ve mümkün olduğunca kullanarak sadeleştirin.
• Taban Değişimi: Farklı tabanlı logaritmalar içeren sorularda, taban değişim kuralını kullanarak aynı tabana çevirme işlemi faydalıdır.
• Tanım Kümesi: Logaritmik ifadelerde, logaritmanın tanımlı olması için içerideki sayının pozitif olması gerektiğini unutmayın.
• Fonksiyon Özellikleri: Logaritmik fonksiyonun artan veya azalan özelliklerini kullanarak, fonksiyon grafikleri ve limitler konusunda avantaj sağlayabilirsiniz.

Örnek Sorular ve Çözümleri

Örnek Soru 1

Bir çubuk, eşit uzunlukta 5 parçaya bölündüğünde her bir parçanın uzunluğu log₃(x) birim olmaktadır. Aynı çubuk, eşit uzunlukta 10 parçaya bölündüğünde her bir parçanın uzunluğu log₃(x/9) birim olmaktadır.

Buna göre, çubuğun toplam uzunluğu kaç birimdir?

Çözümü:

1. Çubuk 5 parçaya bölündüğünde her parça log₃(x) olduğuna göre toplam uzunluk: 5log₃(x).
2. Çubuk 10 parçaya bölündüğünde her parça log₃(x/9) olduğuna göre toplam uzunluk: 10(log₃(x) − 2) = 10log₃(x) − 20.
3. İki durumu eşitleyelim: 5log₃(x) = 10log₃(x) − 20.
4. log₃(x) = 4 bulunur.
5. Toplam uzunluk: 4 × 5 = 20 birim.

Doğru cevap: B şıkkı.

Örnek Soru 2

Bir sayının log₆(z) ve log₃₆(1/z) ifadelerinin aritmetik ortalaması 1/4 olarak verilmiştir. Buna göre, log₂₁₆(z) ifadesinin değeri kaçtır?

Çözümü:

1. log₆(z) = a olsun, log₃₆(1/z) = −a/2 olur.
2. Aritmetik ortalama denklemi: (a − a/2) / 2 = 1/4.
3. Sadeleştirme ile a = 1 bulunur, yani log₆(z) = 1.
4. log₂₁₆(z) = log₆(z) / 3 = 1/3.

Doğru cevap: B şıkkı.